96 MATH. II - M

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHEMATIQUES II - M.

L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de l'option M, comporte 6 pages.

Dans tout le problème K est un sous-corps du corps des réels R et K[X] le K-espace vectoriel des polynômes sur K. Par définition, un réel a est algébrique sur le corps K si et seulement si le réel a est racine d'un polynôme P, autre que le polynôme nul, appartenant à K[X]. Dans le cas contraire, le réel a est transcendant sur le corps K.

Le but de ce problème est d'établir des propriétés simples des nombres algébriques et transcendants sur un corps K, d'en donner des exemples lorsque le corps K est celui des rationnels puis d'appliquer les résultats obtenus pour caractériser des figures géométriques constructibles " à la règle et au compas ".

Soient K un sous-corps de R et a un réel algébrique sur le corps K ; désignons par I(a) l'ensemble des polynômes P appartenant à K[X] qui admettent a comme racine :

I(a) = { P | P K[X], P(a) = 0 }.

I-1°) I(a) est un idéal de K[X] :

1. Démontrer que I(a) est un idéal de K[X]. En déduire l'existence d'un polynôme M_a unitaire (le coefficient du terme de M_a de plus haut degré est égal à 1) unique tel que I(a) soit l'ensemble des polynômes de K[X] proportionnels à M_a dans K[X].
   I(a) = { P | Q K[X] ; P = M_a.Q }.
2. Démontrer que, pour qu'un polynôme P, appartenant à K[X], unitaire et irréductible dans K[X], soit le polynôme M_a, il faut et il suffit que le réel a soit racine du polynôme P.

Par définition, le polynôme M_a est le polynôme minimal de a sur K, le degré du polynôme M_a, noté d(a, K), est le degré de a sur K. Soit K[a] le K-espace vectoriel engendré par la famille des réels 1, a, ..., a^q, ... : K[a] = {x | x = , q N, x_p K}. Il est admis que l'ensemble K[a] est, pour les lois de composition somme et produit, un anneau.

I-2°) Le degré de a sur K est égal à 1 :

Le réel a et le corps K étant donnés, démontrer l'équivalence entre les affirmations suivantes :

i/ le réel a appartient à K, ii/ le degré de a sur K est égal à 1 ; iii/ K[a] est égal à K.

I-3°) Dans cette question le degré de a sur K est égal à 2.

1. Préciser la dimension de K[a] ; démontrer que K[a] est un corps.
2. Démontrer qu'il existe un réel k (k>0) appartenant au corps K tel que les deux corps K[a] et K[] soient égaux.

Par définition, dans ce cas (d(a, K) = 2), K[a] est une extension quadratique de K.

I-4°) Dans cette question, le degré de a sur K est égal à un entier n 2 :

1. Démontrer qu'à tout réel x appartenant à l'espace vectoriel K[a] est associé de manière unique un polynôme R de degré inférieur ou égal à n-1 appartenant à K[X] tel que : x = R(a). En déduire une base du K-espace vectoriel K[a] et sa dimension.
   
2. Démontrer que, pour tout réel x (différent de 0) de K[a], le polynôme R ainsi associé est premier avec le polynôme minimal M_a. En déduire l'existence d'un polynôme U de K[X] tel que la relation U(a).R(a) = 1 ait lieu.
3. Démontrer que l'anneau K[a] est un corps.
4. Démontrer que l'ensemble K[a] est le plus petit corps admettant a comme élément, contenant K et contenu dans R (a K[a], K K[a] R).

Le corps K est maintenant le corps des rationnels Q. Considérons la suite des polynômes définis, pour tout réel x et pour tout entier naturel n, par les relations :

P₀(x) = 1, P₁(x) = 2.x + 1 ; P_n+2(x) = 2.x.P_n+1(x) - P_n(x).

Soit Q_n le polynôme défini par la relation : Q_n(x) = P_n().

I-5°) Propriétés générales des polynômes P_n :

1. Déterminer le degré du polynôme P_n, n 0 ; préciser le coefficient du terme de plus haut degré et le terme constant. Déterminer les polynômes : P₂, P₃, P₄. Démontrer que les coefficients des polynômes Q_n, n 0, sont des entiers relatifs.
2. Démontrer que les seules racines rationnelles possibles du polynôme Q_n sont les entiers 1 et -1. Exprimer l'expression Q_n+3(x) + x.Q_n(x) en fonction du polynôme Q_n+1(x). En déduire que les racines rationnelles éventuelles des polynômes Q_n+3 et Q_n sont les mêmes. Préciser les polynômes P_n qui ont une racine rationnelle.

I-6°) Racines du polynôme P_n :

Soit q un réel donné compris strictement entre 0 et p (0<q<p). Considérons la suite (u_n)_{n 0} définie par la donnée de u₀ et de u₁ et la relation de récurrence :

pour tout entier naturel n, u_n+2 = 2.u_n+1.cosq - u_n.

1. Déterminer l'expression du terme général u_n de la suite ci-dessus en fonction des réels n et q et de deux scalaires l et m déterminés par q, u₀ et u₁.
2. Utiliser les résultats précédents pour exprimer le réel v_n = P_n(cosq) en fonction des réels n et q. En déduire toutes les racines du polynôme P_n notées x_k,n, 1kn.
3. Démontrer que les trois nombres réels cos(), cos() et cos() sont algébriques sur Q. Déterminer leur polynôme minimal.

I-7°) Dans cette question le réel a est le nombre algébrique sur Q, cos() :

1. Démontrer que la dimension de l'espace vectoriel Q[a] est trois et qu'une de ses bases est B = (1, a, a²). Donner l'expression dans cette base des réels cos(), cos().
2. Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel Q[a] ; supposons que, pour tout couple de réels x et y appartenant à Q[a], la relation f(x.y) = f(x).f(y) ait lieu.

Déterminer les différentes images possibles des réels 1 et a dans la base B. En

déduire que l'ensemble de ces endomorphismes est, pour la loi de composition des

endomorphismes, un groupe à trois éléments f₁, f₂, f₃. Déterminer les matrices

associées à ces endomorphismes f₁, f₂, f₃ dans la base B.

I-8°) Exemple de nombres transcendants sur Q :

Soit S un polynôme, appartenant à Q[X], de degré 2, irréductible sur Q.

1. Démontrer qu'il existe un entier naturel C_S (différent de 0) tel que pour tout rationnel r = (le couple (p, q) appartient à ZxN*) il vienne : |S(r)| .
2. Supposons que le réel a soit une racine de S. Déduire du résultat précédent l'existence d'une constante K, strictement positive, telle que pour tout rationnel r = appartenant à l'intervalle [a-1, a+1], l'inégalité |a - r| ait lieu.
3. Soit (t_n)_nN la suite des réels définis par la relation : t_n = , n 0.
   Démontrer que la suite (t_n)_nN est convergente ; soit t sa limite.
   Etablir l'inégalité : |t - t_n| 2.10^-(n+1) !. En déduire que le réel t est transcendant sur Q.