I. Introduction
Le théorème de Fermat-Wiles est une aventure qui a commencé en 1641. Il a inspiré des générations de mathématiciens pendant 353 années. Tout commence avec une note de Pierre de Fermat en marge d'une page de l'Arithmétique de Diophante :  " Il n'est pas possible de partager un cube, en deux cubes, une puissance quatrième en deux puissances quatrièmes et en général une puissance d'exposant supérieur au deuxième en puissances de même exposant. J'en ai découvert une démonstration merveilleuse. L'étroitesse de la marge ne la contient pas.  " en langage mathématique moderne, cela devient: n N\{0, 1, 2} , (a, b, c) (N*)³, aⁿ + bⁿ = cⁿ. Cette note, rédigée avec beaucoup de mystère, apparaît comme un défi pour les mathématiciens professionnels et amateurs et a fait la célébrité de la conjecture devenue aujourd'hui un vrai théorème." Est-ce que Fermat a réellement démontré le théorème ? " est certainement la question que les amateurs se posent. Cela restera sûrement un mystère. Cependant il est certain qu'il a démontré le théorème pour des exposants simples comme n = 4, avec une méthode forte intéressante qu'il a lui même nommée " descente infinie " en 1659.

II. La descente infinie

Le principe de ce raisonnement est original. En effet, il s'agit d'un mélange de raisonnement par récurrence sur les entiers naturels et par l'absurde. Illustrons cette méthode avec la démonstration du théorème dans le cas particulier où n = 4. Pour cette démonstration, nous allons d'abord montrer un lemme très connu à l'époque de Fermat, sur les triplets Pythagoriciens :

Soient x, y et z (N*), premiers entre eux deux à deux . Alors x² + y² = z² (n, m)(N*)² premiers entre eux tels que :

x = 2.n.m,

y = n² - m²,

z = n² + m².

Démonstration

Premier sens : supposons avoir x² + y² = z².

On remarque tout d'abord que x et y ne sont pas pairs tous les deux, car PGCD(x, y) = 1.Si x et y étaient tous les deux impairs, alors (p, q) (N*)²,x = 2.p+1, y = 2.q+1,

donc x² = 4.p² + 4.p + 1 = 2.(2.p² + 2.p) + 1 et y² = 2.(2.q² + 2.q) + 1,

x² et y² seraient alors tous deux impairs. Ainsi, x² + y² serait seulement

divisible par 2 mais pas par 4. x² + y² ne serait donc pas un carré.

L'énoncé du lemme ne peut être vrai que si x et y sont de parités différentes.

supposons que x soit pair et y impair; il est nécessaire que z soit impair.

Ainsi : (u, v, w) (N*)³, x = 2.u, y + z = 2.v et z - y = 2.w

u, v et w sont premiers entre eux puisque x, y et z le sont.

x² = z² - y² = (z + y).(z - y) = 4.v.w donc u² = v.w

Le produit v.w est alors un carré. Or PGCD (v, w) = 1, nécessairement, v et w sont

eux même des carrés.

Donc :

(n, m) (N*)², PGCD(n, m) = 1, tels que v = n² et w = m².

Ainsi x² = 4.v.w = (2.n.m)² , donc x = 2.n.m ,y = v - w = n² - m² et z = v + w = n² + m².

CQFD.

Nous pouvons maintenant passer à la démonstration.

Soit (x, y, z) (N*)³ tel que x⁴ + y⁴ = z².

Quitte à diviser par leur PGCD, supposons que x, y et z soient premiers entre

eux deux à deux.

D'après le lemme, (n, m) (N*)² tel que :

PGCD(n, m) = 1 et x² = 2.n.m, y² = n² - m², z = n² + m².

D'après le lemme, y² est impair donc m est pair et n impair.

or x² = 2.n.m et PGCD(2.m, n) = 1, on a donc : (s, t) (N*)² et PGCD(s, t) = 1

tels que 2.m = (2.s)² et n = t².

Ainsi t⁴ = y² + (2.s²)², 2.s² est pair. D'après le lemme on a:

(p, q) (N*)² et PGCD(p, q) = 1 tels que s² = p.q, donc (p', q') (N*)² tels que

p = p'² et q = q'². Donc on a nécessairement PGCD(p', q') = 1 et toujours d'après

les résultats du lemme, on a t² = p² + q² = p'⁴ + q'⁴.

Ainsi on obtient la nouvelle relation t² = p'⁴ + q'⁴. Il est claire que t, p' et q' sont

premiers entre eux deux à deux et (p' < x, q' < y et t < z).

On obtient alors un nouveau triplet d'entiers non nul strictement inférieurs

au triplet (x, y, z), vérifiant la même équation. On peut ainsi refaire les même

raisonnements et trouver un autre triplets d'entiers strictement inférieurs aux

précédents. On pourrait faire infiniment les même raisonnements mais c'est

impossible car les entiers naturels sont minorés par 0.

On peut conclure que le triplet (x, y, z) n'existe pas.

CQFD.

Il existe d'autres démonstrations pour d'autres puissances mais elles sont plus

difficiles mais utilisent aussi la descente infinie.

III. Les successeurs de Fermat

Pendent environ deux siècles après Fermat, les mathématiciens comme Euler ont fait d'autres tentatives pour des exposants individuels qui reposent sur la même méthode. Mais c'est avec les travaux de Kummer au XIX siècle que l'on commence à obtenir des résultats significatifs. En effet Kummer a réussi la démonstration pour une catégorie de nombre premiers: les nombres premiers réguliers. Donnons quelques définitions. . Les nombres de Bernoulli: ce sont les coefficients du développement en série

entière de .

. Les nombres premiers réguliers : soit p un nombre premier strictement supérieur

à 2, p est un nombre premier régulier s'il ne divise aucun des numérateurs des

nombres de Bernoulli pour p - 3 < 2.n -1 sinon p est dit irrégulier.

Enonçons maintenant le théorème démontré par Kummer:

Soit p un nombre premier régulier alors le théorème de Fermat est vrai pour

l'exposant p, on a de plus (x, y, z) (N* )³, x^p + y^p = z^p alors x.y.z = 0.

Aussi est-il nécessaire de calculer les nombres de Bernoulli pour démontrer le

théorème de Fermat concernant les nombres premiers réguliers.

On peut les calculer par récurrence (voir article sur ces nombres) :

Pour les nombres premiers irréguliers, la démonstration existe mais est plus compliquée

en particulier elle utilise la conjecture de Vandiver, une conjecture sur les corps

cyclotomiques qui sont les ensembles formés à partir du corps des rationnels par

l'adjonction d'une racine primitive de l'unité.

Il faut savoir que la démonstration de la conjecture demande des calculs longs

même pour des machines performantes. On estime à une dizaine d'années de calcul

sur une machine moderne, en pratique on fait fonctionner un centaine de machines

simultanément pour réduire ce temps à quelques mois. Il est donc impensable de

chercher un contre-exemple explicite du théorème de Fermat!

IV. Conclusion

Pour un théorème tel que celui de Fermat, qui a résisté à tant de spécialistes,

il existe naturellement plusieurs voies de recherche intéressantes. Mais on peut dire

qu'il en existe quatre principales.

. La première méthode est celle qui a été exposée dans cet article.

Le raisonnement se fait avec l'arithmétique dans Z, les résultats obtenus

concernent généralement des exposants individuels comme les cas n=3, 4, 5..

mais il faut comprendre que la descente infinie joue ici un rôle important.

. La deuxième méthode utilise les formes quadratiques binaires à coefficients

entier. Les mathématiciens s'intéressaient particulièrement à des formes du

type x² + (-1)^(p+1)/2 .p.y² et raisonnaient sur les entiers représentables sous cette

forme. Par exemple, si p = 3 on considère alors la forme quadratique x² + 3y².

Cette méthode impose l'utilisation du groupe orthogonal. Mais ici on utilise encore

la descente infinie .

. La troisième méthode que nous ne détaillons pas est l'utilisation des corps

cyclotomiques. Cette nouvelle méthode est l'oeuvre d'Euler vers la fin de sa vie.

Et enfin c'est à partir de 1969 que l'on a eu l'idée d'associer les solutions non

triviale de l'équation a^p + b^p + c^p = 0 ou (a, b, c) (N*)³ premiers entre eux deux

à deux et p N, à des cubiques affines E : y² = x.(x + a.p ).(x + b.p).