La fonction Gamma

Définition :
On définit la fonction G, de la manière suivante :

Historiquement, c'est Euler qui a introduit et développé cette fonction.

Montrons tout d'abord que G est bien définie sur R^+*.
Etude de la borne 0.
Si x 1, il n'y a pas de problème d'existence de l'intégrale.
Sinon, si x ]0, 1[, on a alors :
t^x-1.e ^-t
Or 1-x ]0, 1[, donc l'intégrale converge en 0 par comparaison aux intégrales de Riemann.
Etude de la borne +.
Soit x R^+*.
On a e^-t = , d'où t^x-1.e ^-t << .
Par comparaison aux intégrales de Riemann, l'intégrale converge en + sur R^+*.

G est C, avec G⁽ⁿ⁾ =

Démonstration :

Posons f_n(x) = .

On a alors, pour tout n, f_n est C et pour tout entier k, f_n^(k)(x) =

Il est alors évident que f_n converge simplement vers G et même plus généralement, quelque soit k, f_n^(k) converge simplement vers G_k =.

Nous allons maintenant montrer qu'il y a convergence uniforme sur tout segment [a, b] R^+*_.

Soit k N.

Soit e > 0.

Soient a, b R, tels que 0 < a < b.

x [a, b], |f_n^(k)(x) - G_k(x)| + .

Par convergence simple de f_n^(k)(a) vers G_k(a), il vient :

N₁ N / n > N₁, < .

Par convergence simple de f_n^(k)(b) vers G_k(b), il vient :

N₂ N / n > N₂, < .

Posons N₃ = Max(N₁, N₂).

Il vient alors :

n > N₃, x [a, b], |f_n^(k)(x) - G_k(x)| < e.

La convergence uniforme est donc démontrée.

Il s'en suit que G₀ (= G) est C, et donc que G⁽ⁿ⁾ = .

(Voir le cours sur les suites de fonctions)

Graphe de G.

G est convexe

G est logarithmiquement convexe

Nous allons donc montrer que ln(G) est convexe

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None